Els fascinants números que competixen amb pi

L'escriptura anglosaxona del 14 de març –3/14– coincidix amb les tres primeres xifres del número pi. D'ací ve que es triara esta assenyalada data per a celebrar el Dia Internacional de les Matemàtiques.

Que pi és un número interessant ningú el qüestiona, però podem preguntar-nos si hi ha més números interessants i, en cas d'haver-los, per què ho són.

Phi i el 0

Segur que algú ha pensat ja en el número auri phi per la seua relació amb la bellesa i l'art. O en el 0 per la història i la importància de la seua descobriment. O fins i tot en el número arrel de 2 que tants maldecaps va donar als pitagòrics.

Existixen infinits números, per la qual cosa seria impossible fer una enumeració de tots ells i estudiar les seues propietats. Per això, es fa necessari utilitzar classificacions numèriques, i la més senzilla és la que s'ensenya a l'escola: existixen els nombres naturals (1, 2, 3…), els enters (…, -2, -1, 0, 1, 2…), els racionals (½, 3/5, 10/41…) i els irracionals (arrel quadrada de 2, arrel cúbica de 5, pi, e, phi…). Tots ells constituïxen el conjunt dels nombres reals.

Els naturals i el seu carisma

D'estos conjunts, el més especial per a estudiar números interessants és, sens dubte, el dels naturals. De fet, tots els nombres naturals són interessants.

En efecte, suposem que l'afirmació de dalt no és certa, és a dir, que no tots els nombres naturals són interessants. La història ens diu que almenys hi ha un que sí que ho és: el 1729, el més xicotet que pot expressar-se com a suma de poals positius de dos maneres diferents, tal com Srinivasa Ramanujan li va fer veure a G. H. Hardy en un de les seues trobades.

Així, és possible formar dos conjunts de nombres naturals: el conjunt A, que conté a tots els interessants (inclòs al 1729), i el B, que inclou als avorrits. Ara bé, podem ordenar tots els números de B de menor a major i… sorpresa! El més xicotet de tots ells és un número interessant. Per què? Ser el menor dels números avorrits el convertix en interessant!

Per tant, hem de traure eixe número del conjunt B i portar-lo a a. Però en fer eixa operació, B té un nou número mínim que torna a ser interessant. Un altre número que portem a a! I repetint el procés les vegades necessàries aconseguim buidar el conjunt dels números avorrits i així queda demostrat que tots els nombres naturals són interessants.

Els cosins

L'anterior presenta un error formal des del punt de vista logicomatemàtic, i és que no s'ha definit amb rigor el que significa “ser interessant”. Si definim amb precisió propietats numèriques veiem que apareixen diferents tipus de números amb moltíssim interés.

Per exemple, els nombres primers, aquells que només admeten com a divisors a si mateixos i al 1, com li ocorre al 7.

Són ben conegudes les aplicacions dels nombres primers a la criptografia. A pesar que se sap des de l'Antiguitat que existixen infinits, la busca de cosins cada vegada majors és una àrea molt activa d'investigació. A la fi de 2024 es va descobrir l'últim conegut, el qual compta amb més de 41 milions de dígits.

Els nombres primers, com a bons cosins, també s'organitzen per famílies (encara que no tots): estan els cosins de Sophie Germain, els cosins de Mersenne o els cosins de Fermat, tots ells cosins glamurosos d'origen francés.

Els nombres perfectes

Un altre bloc de números destacats són els anomenats “nombres perfectes”, aquells que coincidixen amb la suma dels seus divisors (sense explicar-se a si mateixos), com el 6, que s'obté de sumar 1+2+3.

Es coneix molt poc sobre estos números: en l'actualitat només s'han descobert 52, sent tots ells pares, i només hi ha 4 nombres perfectes per davall de 100 000: 6, 28, 496 i 8128. No se sap si existixen infinits o si hi ha la possibilitat que algun siga imparella. A pesar que se'ls coneixen poques aplicacions (la busca de nombres primers de Mersenne és la principal), els nombres perfectes han fascinat a la humanitat des de sempre. Sant Agustí va escriure l'any 420:

“El sis és un nombre perfecte en si mateix, no perquè Déu va crear totes les coses en sis dies, sinó que Déu va crear totes les coses en sis dies perquè eixe número és perfecte”.

Els números triangulars i redons

El que sí que se sap dels nombres perfectes és que són triangulars. Si ens fixem en el 6, podem obtindre-ho apilant boletes en forma de triangle, començant amb 3 boletes en la base, 2 en l'escaló següent i 1 en la cúspide. A partir del 6, afegint una nova base amb 4 boletes podríem construir el següent número triangular: el 10, i així successivament.

Els “nombres poligonals” estenen esta idea a altres polígons, obtenint-se els números quadrats, pentagonals, hexagonals, etc. Resulta un bon exercici descobrir les fórmules dels nombres poligonals per a un nombre de costats donat.

Parlant de polígons… quina figura geomètrica s'obté si augmentem infinitament el nombre de costats d'un polígon? Un cercle! I seguint amb els números i les seues tipologies… existiran els “números circulars”?

Amb eixe nom no, però els que tots coneixem i usem diàriament són els “nombres rodons”, aquells que acaben en 0 i que ens ajuden en la nostra economia diària gràcies a l'arredoniment. Per exemple, el 50 és un nombre rodó i no els 49,99€ que costa eixos pantalons que m'acabe de comprar.

A pesar que hem demostrat que tot nombre natural és interessant, en la pàgina web Number empire es poden comprovar diverses propietats de números de fins a 12 dígits. Així ja ningú podrà dir que hi ha un número lleig de loteria o que el número de matrícula del seu cotxe és avorrit.

No sols pi té glamur. Però pi… bo, pi és pi.

Raquel Villacampa Gutiérrez, Doctora i professora de Geometria i Topologia, Universitat de Saragossa

Este article va ser publicat originalment en The Conversation. Llija el original.