Premi Abel de matemàtiques 2024: la improbabilitat que una moneda llançada 1.000 vegades isca cara en 600

Michel Talagrand. Premi Abel de matemàtiques 2024. Premi Abel, CC BY

Com es poden guanyar 7,5 milions de corones noruegues (uns 660 000€) amb les matemàtiques?

Si està pensant en alguna cosa com “descobrint la fallada d'una ruleta” o “comptant cartes”, sent defraudar-li: la probabilitat en estos casos sol estar en la nostra contra, per molt que el cinema s'obstinen a afirmar el contrari.

Potser en veure això de “corones noruegues” ha pensat en el premi Nobel, però este es dona en “corones sueques” i a més, segons sembla, Alfred Nobel li tenia poc afecte a les matemàtiques pures i no va deixar dotació per a premiar-les. Parlem, per tant, d'un altre premi, l'Abel, atorgat per l'Acadèmia Noruega de Ciències i Lletres en honor al matemàtic Niels Henrik Abel.

Este any 2024, el premi Abel ha sigut atorgat al francés Michel Talagrand “per les seues contribucions pioneres a la teoria de la probabilitat i l'anàlisi funcional, amb aplicacions excel·lents en la física matemàtica i l'estadística”.

La descripció d'estos assoliments, assenyalada en la concessió al mateix Talagrand del premi Shaw en 2019, va ser més precisa: “pels seus treballs sobre desigualtats de concentració i suprems de processos estocàstics i pels seus rigorosos resultats per a vidres d'espín”.

La probabilitat de la moneda en els treballs de Talagrand

Estos assoliments han sigut destacats en premsa amb un titular que ací reproduïm: “La improbabilitat que una moneda llançada 1 000 vegades isca cara en 600”. Però com es dedueix això dels treballs pels quals s'ha premiat a Talagrand?

Dels tres assoliments que es destacaven en el premi Shawn i que són part també del premi Abel, dos d'ells fan referència explícitament a la Probabilitat i a l'Estadística, i el tercer està molt relacionat. En particular, tots tenen a veure amb l'estudi dels anomenats processos estocàstics, un concepte probabilístic que ens envolta sense que reparem en ell.

Per exemple, imagine que estem en un supermercat, en la cua de la caixa. Cada 5 minuts comptarem el nombre de persones en ella. Eixe valor varia a cada moment, d'aquí ve que al “nombre de persones en la cua” el diguem “variable”. A més, li posem l'adjectiu “aleatòria” perquè té darrere un comportament marcat per l'atzar en el qual uns valors es repetiran més que uns altres.

Però el que ens interessa d'esta cua no és el nombre de persones sinó comprendre com evoluciona el seu valor. D'aquí ve que parlem de “procés”. I és molt revelat entendre d'on ve l'adjectiu que acompanya a eixe terme: estocàstic.

Capaç d'endevinar

La paraula “estocàstic” té el seu origen en el grec “στοχαστικός” (stokhastikós), que significa “capaç d'endevinar”. Una acció, la de predir o endevinar, per a la qual la ciència compta amb l'Estadística i la Probabilitat.

Tornant al supermercat, suposem que el nostre interés és conéixer quantes persones hi haurà en la cua en un moment concret i així decidir amb una certa antelació quantes caixes han d'estar obertes.

Un altre exemple que sol utilitzar-se molt per a parlar de processos estocàstics és el clima. Entendre com evoluciona un temporal és fonamental per a prendre les mesures oportunes per a evitar desastres.

Alguns d'estos processos són senzills d'estudiar, i estan sustentats per regles bàsiques com les dels processos anomenats Markovianos (en honor al matemàtic Rus Andrèi Markov), un tipus de procés pel qual l'estat del sistema només depén del que estava succeint en l'instant anterior. Dit amb altres paraules, el nombre actual de persones en la cua només depén del número que hi havia fa 5 minuts i no de les que hi havia fa 10 o 15.

El moment de la incertesa

Altres processos, no obstant això, són molt més complexos i depenen del que anomenem sistemes dinàmics. En ells es veuen involucrades equacions matemàtiques que expliquen com va canviant el sistema (com els que usem per a modelitzar epidèmies) amb relació a moltes altres variables que poden tindre influència.

I ull, perquè eixes variables poden ser molt variables. És a dir, que les condicions sota les quals es desenvolupa un temporal, les que fan créixer un fruit o les que envolten al llançament d'una moneda poden ser extremadament canviants i difícils de controlar, afegint incertesa al sistema.

Tenim, ara sí, tots els ingredients per a entendre un poc millor els quals són les contribucions per les quals Talagrand ha aconseguit el premi Abel.

Vidres d'espín

Comencem per l'últim i més complex: “els seus rigorosos resultats per a vidres d'espín” i les seues contribucions a la física, segons el premi Abel.

Els vidres d'espín o spin glasses són un concepte que apareix dins de les teories del físic italià Giorgio Parisi, Premi Nobel de Física en 2021 per el “descobriment de la interacció del desorde i les fluctuacions en els sistemes físics des d'escales atòmiques fins a planetàries”.

Es tracta d'una mena de sistema físic desordenat en el qual Parisi tractava d'entendre la complexa interacció entre els àtoms que ho conformen. La intuïció de Parisi mancava de formalització matemàtica (i això a les persones que ens dediquem a això ens posa nervioses). Però va arribar Talagrand amb els seus coneixements sobre processos estocàstics que podien aplicar-se també a esta mena de sistema i va aconseguir formalitzar les intuïcions de Parisi.

El màxim i el mínim d'un procés estocàstic

Respecte als “suprems de processos estocàstics”, una de les grans coses que ha aportat Talagrand ha sigut la possibilitat de delimitar quant pot arribar a valdre – valor màxim i mínim– un procés estocàstic. En els nostres exemples, ens pot dir quin serà el màxim de persones en la cua o de litres per metre quadrat que ens deixarà un temporal. No em diguen que no és pràctic!

I arribem, per fi, a la primera contribució de Talagrand: les “desigualtats de concentració”, que tenen a veure directament amb la moneda del titular.

El moment de tirar la moneda a l'aire

Les desigualtats de concentració (concentration inequalities) ajuden a entendre que improbable és que, si tenim dades variades, ens separem molt de l'esperat. Amb això de “tenim dades variades” al que em referisc és al fet que les nostres observacions contemplen tota la variabilitat que existeix al voltant d'un procés.

En el cas de la moneda, cada vegada que la tirem ho fem amb una força i, possiblement, un estil diferent. Això fa que si esperem observar 500 cares en 1 000 llançaments (per això que la moneda té una probabilitat de cara d'un 50 %), és difícil que observem exactament 500. Però com de difícil?

El que fan exactament estes desigualtats és quantificar el difícil que és allunyar-nos d'eixe 500 i, en concret, amb 1 000 llançaments.

La desigualtat de Talagrand estableix que la probabilitat de traure més de 600 serà d'un 1 % dividit per dos milions. Això és així perquè tota la variabilitat entre les diferents forces o maneres de tirar la moneda s'anul·la, i el numere de cares es concentrarà entre 450 i 550, amb una probabilitat del 99,7 %.

En definitiva, la probabilitat pot fer guanyar diners, encara que la raó se separe molt de l'esperat.

Anabel Forte Deltell, Doctora en Matemàtiques i professora en la Universitat de València, Departament d'Estadística i Investigació Operativa, Universitat de València

Este article va ser publicat originalment en The Conversation. 

Traduït per Âgora CT